2018-ACM-ICPC-Nanjing-online-J

ACM-ICPC 2018 南京赛区网络预赛 J题

题目链接：https://nanti.jisuanke.com/t/30999

A square-free integer is an integer which is indivisible by any square number except 11. For example, $6 = 2 \cdot 36=2⋅3$ is square-free, but $12 = 2^2 \cdot 312=22⋅3$ is not, because 2^222 is a square number. Some integers could be decomposed into product of two square-free integers, there may be more than one decomposition ways. For example, 6 = 1\cdot 6=6 \cdot 1=2\cdot 3=3\cdot 2, n=ab6=1⋅6=6⋅1=2⋅3=3⋅2,n=aband n=ban=ba are considered different if a \not = ba̸=b. f(n)f(n) is the number of decomposition ways that n=abn=ab such that aa and bb are square-free integers. The problem is calculating \sum_{i = 1}^nf(i)∑i=1nf(i).

Input

The first line contains an integer T(T\le 20)T(T≤20), denoting the number of test cases.

For each test case, there first line has a integer n($n \le 2\cdot 10^7$)n(n≤2⋅107).

Output

For each test case, print the answer $\sum_{i = 1}^n f(i)∑i=1nf(i)$.

Hint

$$\sum_{i = 1}^8 f(i)=f(1)+ \cdots +f(8)∑i=18f(i)=f(1)+⋯+f(8)
=1+2+2+1+2+4+2+0=14=1+2+2+1+2+4+2+0=14.$$

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题目来源

ACM-ICPC 2018 南京赛区网络预赛

首先我们先研究一下$f(n)$. 如果对$n$进行素因子分解的话，只要有一个素数的指数大于2, 那么$f(n)$ 就是0.

比如$f(2^3) = 0$, $f(2*3^4)=0$.

如果要$f(n)$非0，只能是每个素因子的指数要么是1，要么是2. 而且指数是1的话贡献为2，指数为2的话贡献只有1. （因为指数为1，可以取0个或者1个，指数为2只能取1一个了）。

比如$f(2^1 \times 3^2) = 2 \times 1$. $f(2^1 \times 3^1 \times 5^1) = 2 \times 2 \times 2$.

所有如果单独求一个$f(n)$的话，只需要对$n$进行素因素分解。

但是现在需要求$1 \sim 2 \times 10^7$的$f(n)$, 我们需要进行递推。

假如我们知道$n$的最小素因子是p的话，而且p的指数是x的话，即$n = p^x \times y$.

那么很显然，如果x == 1, 那么$f(n) = 2 \times f(y)$, 如果x == 2, 那么$f(n) = f(y)$, 如果x > 2, 那么$f(n) = 0$.

所以只要我们可以求到一个数的最小素因子，这个问题递推一下就解决了。

幸好我们可以用线性筛。我模板里面有，不懂原理的可以搜一下。

线性时间可以求得每个数最小的素因子，然后搞一搞。

本题有点卡常，减少循环次数，小心谨慎。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN = 20000010;

int prime[MAXN+1];
int minPrime[MAXN+1];
void getPrime() {
  memset(prime, 0, sizeof(prime));
  for (int i = 2; i <= MAXN; i++) {
    if (!prime[i]) {
      prime[++prime[0]] = i;
      minPrime[i] = i;
    }
    for (int j = 1; j <= prime[0] && prime[j] <= MAXN/i; j++) {
      prime[prime[j] * i] = 1;
      minPrime[prime[j] * i] = prime[j];
      if (i % prime[j] == 0)break;
    }
  }
}
long long a[MAXN+1];

int main() {
  getPrime();
  a[0] = 0;
  a[1] = 1;
  for (int i = 2; i <= MAXN; i++) {
    int cnt = 0;
    int tmp = i;
    int mm = minPrime[i];
    if ((long long)mm*mm < MAXN && (long long)mm*mm*mm < MAXN &&
       i%(mm*mm*mm) == 0) a[i] = 0;
    else if ((long long)mm*mm < MAXN && i%(mm*mm) == 0)a[i] = a[i/mm/mm];
    else a[i] = 2*a[i/mm];
  }
  for (int i = 1; i <= MAXN; i++)
    a[i] += a[i-1];

  int n;
  int T;
  scanf("%d", &T);
  while (T--) {
    scanf("%d", &n);
    cout<<a[n]<<endl;
  }
  return 0;
}